Espérance \({\Bbb E}[X]\) de \(X\) réelle
Moyenne pondérée par \(P\) des valeurs prises par la Variable aléatoire \(X\). $${\Bbb E}[X]=\int_\Omega X\,d{\Bbb P}$$

• l'espérance est bien définie si \(X\overset{ps}\geqslant0\) ou si \(\int\lvert X\rvert\,d{\Bbb P}\lt +\infty\)
• cette définition s'étend sur \({\Bbb R}^d\) en calculant l'espérance coordonnée par coordonnée : $$\Bbb E[X]=({\Bbb E}[X_1],\dots,{\Bbb E}[X_d])$$
• on note \(L^1(\Omega,{\mathcal F},P)\) l'ensemble des variables aléatoires intégrables muni de la relation d'équivalence \(\overset{pp}=\)
• si \(X=\Bbb 1_A\) avec \(A\in\mathcal A\), alors \({\Bbb E}[X]={\Bbb P}(A)\)
• autre formule pour l'espérance : $${\Bbb E}[X]=\sum_{n=1}^{+\infty}{\Bbb P}(X\geqslant n)\quad\text{ ou }\quad {\Bbb E}[X]=\int_0^{+\infty}{\Bbb P}(X\geqslant x)\,dx$$

Questions de cours

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Expliquer pourquoi \({\Bbb E}[X]\) est bien définie lorsque \(X\overset{ps}\geqslant0\).
Verso: Même si l'intégrale diverge, on peut toujours dire \({\Bbb E}[X]=+\infty\).
Bonus:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Expliquer pourquoi \({\Bbb E}[X]\) est bien définie lorsque \(\int_\Omega\lvert X\rvert\,d{\Bbb P}\lt +\infty\)
Verso: On peut séparer \(X=X^+-X^-\), et utiliser le fait que \(X^+,X^-\geqslant0\) (les deux intégrales sont convergentes).
Bonus:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Ecrire le Théorème de convergence monotone pour une suite de variables aléatoires.
Verso: $$X_n\geqslant0\qquad X_n\uparrow X\implies {\Bbb E}[X_n]\uparrow{\Bbb E}[X]$$
Bonus:
Carte inversée ?: y
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Ecrire le Lemme de Fatou pour une suite de variables aléatoires.
Verso: $$X_n\geqslant0\implies{\Bbb E}\left[\varliminf X_n\right]\leqslant\varliminf{\Bbb E}[X_n]$$
Bonus:
Carte inversée ?: y
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Ecrire le Théorème de convergence dominée pour une suite de variables aléatoires.
Verso: $$\lvert X_n\rvert\leqslant Z,{\Bbb E}[Z]\lt \infty,X_n\overset{ps}\longrightarrow X\implies{\Bbb E}[X_n]{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}{\Bbb E}[X]$$
Bonus:
Carte inversée ?: y
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Ecrire l'Inégalité de Hölder pour deux variables aléatoires.
Verso: $$\frac1p+\frac1q=1\implies {\Bbb E}[\lvert XY\rvert]\leqslant\sqrt[p]{{\Bbb E}[\lvert X\rvert^p]}\sqrt[q]{{\Bbb E}[\lvert Y\rvert^q]}$$
Bonus:
Carte inversée ?: y
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Ecrire l'Inégalité de Hölder pour deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\), avec \(Y=1\).
Verso: $$\lVert X\rVert_1\leqslant\lVert X\rVert_p$$
Bonus: Cela se généralisé en $$r\leqslant p\implies\lVert X\rVert_r\leqslant\lVert X\rVert_p$$
Carte inversée ?: y
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Ecrire l'Inégalité de Cauchy-Schwarz pour deux variables aléatoires.
Verso: $${\Bbb E}[\lvert XY\rvert]\leqslant\sqrt{{\Bbb E}[X^2]{\Bbb E}[Y^2]}$$
Bonus:
Carte inversée ?: y
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Ecrire l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour une variable aléatoire \(X\) et \(Y\), avec \(Y=1\) .
Verso: $${\Bbb E}[\lvert X\rvert]^2\leqslant{\Bbb E}[X^2]$$
Bonus:
Carte inversée ?: y
END